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Sistemas mecánicos
Si pasamos a continuación a considerar los fenómenos mecánicos, el más sencillo de todos es el oscilador armónico, formado por una masa M, que representa la inercia del sistema, así como por un resorte de constante elástica K, que nos informa sobre la elasticidad (figura 1 .8.a).
a) Oscilación libre sin amortiguamiento.
Si en un sistema de este tipo desplazamos la masa M instantáneamente de su posición de equilibrio, realizará Oscilaciones alrededor de esta posición, al no existir pérdida de energía por rozamiento, el movimiento continúa indefinidamente una vez iniciado. Este tipo de movimiento, bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica y en ausencia de
todo rozamiento, se denomina movimiento armónico simple. Es decir si se separa la masa M una determinada distancia hacia arriba x0, desde su posición de equilibrio y se abandona así misma, debido a la existencia de una fuerza elástica del resorte, se pone en movimiento hacia de la inercia la posición del sistema, de equilibrio, pasando no a parándose comprimir al pasar por ella, como consecuencia resorte una distancia - x₀, tendiendo de nuevo a pasar por la posición de equilibrio, debido a la elasticidad y así sucesivamente, y al no existir ninguna fuerza de pérdidas, el movimiento nunca desaparecerá.
Si aplicamos al estudio del movimiento de la masa M, la ecuación fundamental de la dinámica (Σ F = M.a), obtenemos los valores de las magnitudes que caracterizan el movimiento, y que son:
- Desplazamiento x de la masa M, que nos da la posición de esta masa, en cada instante de tiempo, respecto de su posición de equilibrio, también se llama a esta magnitud elongación. Se mide en unidades de longitud (m). Varía en función del tiempo de una forma armónica (figura 1.6.).
- Amplitud x₀, es el máximo valor del desplazamiento. Se mide en m.
- Angulo de fase inicial del movimiento ⌽, que nos informa sobre la posición de la masa M, en el instante de iniciarse el movimiento.
- Velocidad v con la que vibra M, es la variación del desplazamiento por unidad de tiempo, se mide por tanto en m/s, siendo v₀ la amplitud de la velocidad vibratoria. Varía en función del tiempo de una forma armónica (figura 1 .6.).
- Aceleración a con la que se desplaza M, es la variación de la velocidad por unidad de tiempo, se mide por m/s², siendo a₀ la amplitud de la aceleración. Varía en función del tiempo de una forma armónica (figura 1.6.).
- Pulsación w₀, o también llamada frecuencia angular propia de la oscilación, tiene un valor de,
- Período de la oscilación T₀, es el tiempo que tarda la masa M en efectuar una oscilación completa, se mide en s, y de valor
- Frecuencia de la oscilación f₀, es el número de oscilaciones que realiza la masa M en la unidad de tiempo, se mide en ciclos/segundo (Hz), de valor,
La relación entre el período, la frecuencia y la pulsación de la oscilación es
El desplazamiento y la velocidad, tienen una diferencia de fase de 90º, así como entre la velocidad y la aceleración, mientras que entre el desplazamiento y la aceleración el desfasaje es de 180º. Esto quiere decir que cuando una magnitud pasa por un máximo en función del desfasaje, las otras pueden pasar por un máximo (en oposición de fase), o por un mínimo (desfasaje de 90º) (figura 1.6.).
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| Diagramas de desplazamiento, velocidad y aceleración, siendo el desfasaje ⌽ nulo y w₀=2, en función del tiempo, para un movimiento armónico simple. Figura 1.6. |
Al estudiar el movimiento oscilatorio, lo podemos hacer mediante la determinación del desplazamiento, velocidad y aceleración. Al ser estos magnitudes alternas, se miden diferentes valores según se puede ver en la figura 1.7.
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| Valores de pico, medio y eficaz de una magnitud variable con el tiempo. Figura 1 .7. |
Los posibles valores a medir son:
1º. Valor de pico, que es el máximo valor que puede alcanzar la magnitud, es decir x0.
2º. Valor medio de la magnitud en un semiperíodo
La energía que emplea este sistema en su oscilación, es en parte cinética, ya que se mueve la masa M, y parte potencial, como consecuencia de la existencia de la elasticidad K en el sistema, y de su correspondiente fuerza recuperadora. El valor de la energía total es,
donde K es la constante elástica del sistema y x₀ la amplitud del movimiento. Esta energía es constante en este movimiento, ya que se ha considerado que no existían pérdidas en el sistema, siendo esta energía proporcional al cuadrado de la amplitud de desplazamiento.
b) Oscilación libre con amortiguamiento.
Consideremos ahora que el sistema oscilante está sometido a fuerzas de fricción, que producen una pérdida de energía, y una disminución de la amplitud de desplazamiento con el tiempo (figura 1 .8.b). Si se inicia el movimiento del sistema de una forma análoga, a la del caso anterior, la única modificación que aparece en la ecuación de la dinámica del sistema, es la aparición de la fuerza resistiva, que es proporcional a la velocidad, en cada instante, con la que se mueve la masa M, donde RM es la constante de proporcionalidad, de tipo positiva, denominada resistencia mecánica del sistema cuyas unidades son N.s/m a la que se llama ohmio mecánico.
El valor del desplazamiento x de la masa M en función del tiempo, depende de unas constantes arbitrarias así como del coeficiente de amortiguamiento del sistema β = RM /2M. La amplitud del movimiento es exponencialmente decreciente con el tiempo (figura 1 .9.).
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| Oscilaciones en un sistema mecánico en serie: a) sistema masa resorte oscilación sin pérdidas, b) sistema masa resorte oscilación con pérdidas y c) sistema masa resorte oscilación con pérdidas bajo la acción de una fuerza externa. Figura 1.8. |
Una medida de la rapidez con la que debido a la fuerza de fricción, disminuye la amplitud de la oscilación, es el tiempo necesario para que la amplitud disminuya desde x0 a x0/e donde e = 2,71 828, este tiempo t es el llamado tiempo de relajación.
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| Diagrama del desplazamiento de un movimiento oscilatorio amortiguado. Figura 1.9. |
La impedancia mecánica ZM de forma análoga a la impedancia eléctrica ZE, depende de la resistencia mecánica del sistema RM , y de la reactancia mecánica Xm (Xm = Mw - K/w).
En este tipo de movimiento, se llama "decremento logarítmico" al logaritmo neperiano de la relación entre dos amplitudes de la oscilación separadas un pseudoperíodo, que es el tiempo que separa dos instantes sucesivos de paso por el origen en el mismo sentido.
Los valores de la velocidad y la aceleración de este movimiento tienen unas características análogas a las del desplazamiento.
c) Oscilación forzada con amortiguamiento.
Si en lugar de dejar oscilar el sistema disipativo libremente, se le somete a la acción de una fuerza exterior permanente de período T (figura 1.8.c), el movimiento de la masa M se puede estudiar a partir de su desplazamiento, que contiene un término transitorio que disminuye exponencialmente con el tiempo, y un término estacionario, que varía Sinusoidalmente con el tiempo, y en el que la amplitud de desplazamiento depende de los parámetros del sistema, amplitud de la fuerza exterior aplicada Fo, resistencia mecánica RM, masa M y elasticidad K. El valor de esta amplitud así como su fase, variará con la frecuencia de la fuerza exterior aplicada.
En un sistema de las características del descrito, se define la impedancia mecánica ZM , como cociente entre la fuerza F del generador exterior
Vibratoria de la masa M, esta magnitud es análoga a la impedancia eléctrica y su unidad de medida es el ohmio mecánico.
Se define como admitancia mecánica, al valor inverso de la impedancia mecánica, en un sistema de características análogas al descrito anteriormente.
Se llama frecuencia de resonancia mecánica, a aquella para la cual la reactancia mecánica XM es nula, o sea RM, por consiguiente:
Mw - K/w=0
de donde
w=w0 = √K/M
a esta frecuencia la potencia transmitida al oscilador es máxima, y la impedancia mecánica mínima, por lo que el valor de la amplitud de la velocidad vibratoria es máxima. La resonancia de amplitud de desplazamiento se presenta para otra frecuencia diferente.
La energía perdida por el sistema oscilante, se puede estudiar en función de una nueva magnitud denominada '"factor de calidad" Q que es 2π veces el cociente entre la energía almacenada por ciclo y la energía perdida por ciclo.
Esta magnitud puede aparecer en función de la masa del sistema y de su resistencia mecánica:
o bien en función del tiempo de relajación:
También se puede decir que el factor de calidad es una medida de la altura de pico en la zona de resonancia. Una nueva definición es como el cociente entre la frecuencia angular propia w0 y la diferencia w2-w, que son las frecuencias angulares a ambos lados de w0 (figura 1.10), para los cuales la potencia media es la mitad del valor en la resonancia:
donde el valor w2-w1=△w se le llama ' 'ancho de banda'.
Según se ha podido apreciar, en un sistema oscilante, a la frecuencia angular de resonancia w=w0, el ángulo de fase entre la fuerza y la velocidad es nulo, mientras que la fuerza y la amplitud están desfasadas 90º, para frecuencias angulares superiores a la de resonancia, la velocidad y la fuerza están desfasadas tendiendo a 90º, mientras que la frecuencia tiende a infinito, siendo la reactancia y el desfasaje positivo. Para frecuencias inferiores a la de resonancia, la velocidad y la fuerza están siempre desfasados, tendiendo dicho desfasaje a 90º a medida que la frecuencia angular tiende a cero, siendo en este caso la reactancia y el desfasaje negativos. En las proximidades de la frecuencia angular de resonancia, el desplazamiento, la velocidad y el desfasaje, varían tanto más rápidamente, cuanto menor es la resistencia mecánica.
Se pueden definir diversas categorías de sistemas mecánicos, principalmente por los tres procedimientos diferentes de excitación de los mismos, que corresponden a los siguientes casos:
1º. Respuesta a una sola frecuencia discreta
2º. Respuesta a varias frecuencias discretas
3º. Respuesta a una gran banda de frecuencias
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| Variación de la potencia media en función de w/w0 para diferentes valores de Q. Figura 1.10. |
A estos sistemas se les conoce como controlado por capacidad, de control de resistencia y de control por masa. De una forma general, se puede decir que todos los sistemas electromecánicos son de resistencia controlada a frecuencias próximas a la de resonancia, así mismo para frecuencias inferiores a la de resonancia, los mismos sistemas son de tensión controlada, mientras que para frecuencias superiores a la de resonancia, son de masa controlada.
Manuel Recuero López
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