Creación de las Escalas Musicales

Debemos de tener en cuenta el extraordinario aumento que ha tenido en los últimos años la acústica musical, que se ha extendido a grandes núcleos de la población, mediante el disco, la radio y la televisión, que permiten a los aficionados al arte musical, conocer con facilidad y en poco tiempo una gran cantidad de música, a la que el aficionado antiguo no tenia acceso. Debido al gran desarrollo de la acústica musical, así como de las diferentes ramas de la acústica, hoy en día es necesario que el músico conozca las leyes fundamentales de la acústica los procedimientos de formación de las escalas, los principios de construcción diseño de los instrumentos musicales, así como los diferentes procedimientos de registro y reproducción del sonido.

Pitágoras tocando el Monocorde

Desde la antigüedad el hombre ha tenido un gran interés por conocer las leyes por las que se rigen los sonidos, como lo demuestran las antiguas experiencias realizadas por Pitágoras y sus discípulos, encontrando la relación entre las longitudes de las cuerdas, y los intervalos armónicos más sencillos. S Boecio en el siglo VI escribió su tratado "De Instituciones Música", realizando un compendio de toda la teoría musical de la época. Durante los siglos XV y XVI, Salinas y Ramos Parga, efectuaron estudios sobre las características de los instrumentos musi­cales. Posteriormente Gassendi estableció la relación entre la altura de un sonido y la frecuencia del movimiento oscilatorio que lo origina. En la misma época Mersenné anunció, las leyes sobre las vibraciones de cuerdas, ampliando el estudio Euler y D'Alambert. En el siglo XIX, Helmholtz, Rayleigh y Koening, dieron los fundamentos de la moderna acústica musical. Entre las diferentes aportacio­nes en este campo se encuentran las de D.C. Miller, inventor de un aparato que permite obtener y fotografiar los oscilogramas correspondientes a diferentes sonidos, y W. Sabine con sus estudios sobre la acústica de salas.

Los sonidos musicales están totalmente determinados por el oído, y su forma de responder y analizar esta información, nos obliga a hacer una pequeña introduc­ción, en la que definiremos una serie de conceptos que generalmente pasan desapercibidos en el campo de la Acústica Física. Conocida la respuesta del oído a la amplitud y a la forma de onda de un tono musical, vamos a ver como responde el oído a la frecuencia de cada tono. Unos cuantos experimentos con sonidos producidos por diferentes objetos en vibración, bastan para ver que la frecuencia de un sonido está íntimamente ligada con lo que se denomina "elevación" o "altura" (propiedad subjetiva de un sonido por la que puede compararse con otro en términos de "alto" o "bajo"). Las frecuencias bajas corresponden a elevaciones bajas y al contrario, la relación sin embargo no es del todo exacta, ya que cada elevación está determinada por otros factores además de la frecuencia. La mayoría de los instrumentos producen muy pocos sonidos de frecuencias superiores a 10 kHz, y los pocos producidos en esta región se confunden con fenómenos poco musicales. Aunque para una perfecta reproducción de un sonido, especialmente de instrumentos de percusión, es necesario el campo de las frecuencias audibles, la calidad del tono de la mayor parte de los instrumentos queda muy poco afectada por un corte de frecuencias por encima de 10 kHz. La gama usual de frecuencias de los sonidos musicales, es considerablemente más pequeña que la gama audible, siendo el tono más alto de un piano el de frecuencia de 4.186 Hz, este valor podemos considerarlo como el límite superior de los tonos fundamentales. La región de frecuencias elevadas en un reproductor musical, está dedicada a acomodar los armónicos de los tonos altos, que como sabemos nos dan el timbre de los diferentes instrumentos. La gama de trabajo de los fundamentales se reduce aproximadamente de 27 a 4.200 Hz.

Mientras que la frecuencia de un sonido, es una definición física cuantitativa, que se puede medir con aparatos sin una referencia auditiva, la elevación es nuestra evaluación subjetiva de la frecuencia del sonido. La percepción puede ser diferente en distintas situaciones, así para una frecuencia específica no siempre tendremos la misma elevación. Generalmente oímos con los dos oídos, que no son necesaria­ mente idénticos, en algunas personas un sonido de una frecuencia determinada, puede producir una determinada elevación en un oído, y otra diferente en el otro, este fenómeno se llama diplacusia, pudiendo producirse por grandes defectos de los oídos. Para las personas con audición normal, los efectos de la diplacusia y sonoridad en la elevación de tonos periódicos son pequeños, para expertos musicales, sin embargo, es razonable usar separadamente los dos términos frecuencia y elevación. Todo esto se aplicara a sonidos que tengan una frecuencia y elevación definidas, ya que dos sonidos producidos fuera de una escala consonante, no tendrán una frecuencia especificada, y por lo tanto tampoco su elevación correspondiente.

La discriminación de elevación, es la facultad de distinguir dos tonos de frecuencias muy próximas. El oído puede distinguir cambios en el nivel de intensidad de un sonido, del orden de medio decibelio, que equivale a apreciar cambios de 12% de intensidad. A frecuencias de hasta 1000 Hz por ejemplo, el oído puede distinguir cambios de elevación de alrededor de 3 Hz a 30 Hz, esto equivale al 10%, que como veremos posteriormente es análogo a dos semitonos. El oído está mucho más preparado para distinguir cambios de frecuencias que de intensidad, a altas frecuencias. El procedimiento para obtener una escala subjetiva de elevación ha sido el de evaluar frecuencias, a mitad de alto o doble de alto, para unas frecuencias determinadas. La unidad de elevación es el "mel" (la frecuencia de 1000 Hz tiene por definición una elevación de 1 mel), esta escala es interesante para la psicología, teniendo alguna importancia en la teoría de la audición, pero no tiene demasiado sentido en música, donde la unidad natural es la octava como veremos más adelante. Por lo tanto, la elevación representa la habilidad qué poseen algunas personas, para reconocer exactamente la elevación de un tono (referido a la escala musical), sin tener que comparar con ninguna señal complementaria. Esta rara habilidad ha sido objeto de considerable investigación, sin llegar hasta ahora, a una explicación clara del fenómeno

Al emitirse dos o más sonidos simultáneos, se dice que se produce un "acorde" que puede ser "consonante" o "disonante", según que la sensación experimen­tada sea agradable o desagradable; cuando la sensación agradable es producida por una sucesión de sonidos, entonces se tiene una "melodía".

Como vemos la melodía consiste en la elección y número de notas que componen un periodo musical, por ejemplo en las obras de tipo orquestal, la melodía es interpretada por el solista, siendo acompañado por el resto de la orquesta que proporciona la armonía.

El lenguaje empleado en música contiene una serie de expresiones cuyo significado físico interesa conocer, como por ejemplo:

• a) tesitura (tono de un sonido)
• b) color (características propias del timbre)
• c) crescendo y decrescendo (intensidad de un sonido que aumenta o disminuye)
• d) fuerte, piano, pianisimo (máxima intensidad que puede producirse, sonido suave y muy suave),
• e) trémolo (producir una nota de frecuencia fundamental inferior a los 16 Hz, aunque rica en armónicos),
• f) vibrato (variaciones rápidas y pequeñas en el tono de una nota)

La experiencia enseña que en cualquiera de los casos la sensación producida en el oído no depende de los valores absolutos de las frecuencias de los sonidos, sino de la relación entre ellas, por lo que se ha dado el nombre de intervalo, al cociente de las frecuencias, tomando siempre como numerador la mayor frecuencia, siendo esta sensación tanto más agradable, cuanto más sencillo sea el intervalo entre los dos sonidos.

Por todo esto vemos que la percepción simultánea o sucesiva de dos sonidos de frecuencias f y f', no parece conservar un carácter común, cuando estas frecuencias varían, con tal que su intervalo i=f'/f permanezca constante.

El oído puede distinguir dos frecuencias o elevaciones que difieran 0.04 semitonos, lo que significa que en un semitono existen 25 frecuencias diferenciables, muchas más de las que necesitamos para componer una melodía, así a que tomamos unas pocas dentro del margen de frecuencias audibles, y al conjunto de ellas le denominamos "escala" y a cada una de esas frecuencias discretas llamamos "nota". En música la representación gráfica de los sonidos se hace por medio de unos símbolos (las notas), que se escriben sobre una pauta llamada pentagrama (Figura 4.1) Pitágoras con su monocorde (instrumento de una cuerda fija en sus extremos, y con un puente intermedio móvil), descubrió que al pulsar simultáneamente los dos tramos de la cuerda, se producían acordes consonantes sólo cuando sus longitudes estaban en las relaciones:

1/1                 1/2                 2/3                 3/4

llamando a la relación de frecuencias 1/1 "unísono", la 2/2 "octava", la 3/2 "quinta" y la 4/3 "cuarta". Estas relaciones de frecuencias desde el punto de vista físico, son los denominados intervalos. El orden en que expresamos las relaciones de frecuencias, no es privativo, o sea una octava la expresamos indistintamente por 1/2 ó 2/1, bien entendido que si hablamos  de elevar un tono una octava, multiplicaremos su frecuencia por 2, mientras que lo haremos por 1/2 si queremos obtener un tono una octava más bajo.

Tabla Pitagórica

Tabla 4.1

Los intervalos 3/2 y 4/3 llamados quinta y cuarta, son aún más consonantes, ahora bien, de f₂ /f₁ = 3/2 y f₃ /f₂ = 4/3 se deduce f₃ /f₁ = (3/2) x (4/3) = 2, diciéndose entonces que la nota f₂ divide en dos intervalos iguales la octava f₃ /f₁. De una forma general, tres sonidos ordenados por frecuencias crecientes f₁, f₂ y f₃  se expresan por los músicos como que el intervalo i₃ (del primero al tercero) es la suma del intervalo i₂ (del segundo al tercero) y del intervalo i₁ (del primero al segundo), cuando lo que realmente se cumple es:

i₃ = i₂ X i₁

de donde:

log i₃ = log i₂ + log i₁

por lo que para conservar la definición de los músicos, es suficiente con caracterizar cada intervalo por su logaritmo, siendo esto lo que se hace en acústica musical. La idea de Pitágoras fue buscar dentro de una octava, una serie de notas musicales, con el mayor número posible de cuartas y quintas, es decir de acordes consonantes.

Vamos a empezar con una nota que llamaremos DO, y a la cual la hacemos corresponder una frecuencia f. Una octava más arriba tendremos de nuevo DO, de frecuencia 2f. Ahora agregamos una nota intermedia, bajando una quinta desde el DO más alto, obtenemos una frecuencia (2/3) x 2f = (4/3) f que llamamos FA. A continuación desde el DO más bajo, subimos una quinta, obteniendo (3/2) x f = (3/2) f, que llamamos SOL. A partir de SOL subimos otra quinta, con lo cual salimos de la octava, por lo que al llegar al DO alto, bajamos una octava y seguimos contando, llegaremos entonces a la nota de frecuencia (3/2) x (3/2) x (1 /2) f =9/8 f, llamada RE, la siguiente siempre subiendo una quinta es LA, de frecuencia (9/8) x (3/2) f = 27/16 f. Ahora estudiaremos la escala así obtenida, concen­trándonos solamente en las relaciones, de forma que la podamos referir a una frecuencia cualquiera dada. Si procedemos por cuartas y quintas consonantes, a llegar al LA subimos otra quinta y sin olvidarnos de bajar una octava, obtendremos la nota MI, de relación (27/16) x (3/2) x (1/2) f = 81/64 f, otra quinta más y llegamos a la nota SI o sea (81/64) x (3/2) f = 243/128 f, con lo que hemos obtenido todos los acordes consonantes que entran en una octava. Si ahora calculamos os intervalos entre cada dos notas consecutivas nos encontramos con los siguiente valores: DO - RE (9/8), RE - MI (9/8), FA - SOL (9/8) y LA - SI (9/8), y el de 256,243 entre MI - FA y SI - DO. Si comparamos el valor de estos intervalos vemos que uno de ellos es sencillamente menor que el otro (9/8 = 1,125 y 256/243 = 1,053). La escala completa, así construida, se denomina Pitagórica, que consiste en una progresión de notas en sentido ascendente o descendente, desde una nota cualquiera hasta su octava, coincidiendo esta distribución de notas en la octava, con las teclas blancas del piano, denominándose generalmente escala diatónica Pitagórica, el intervalo 9/8 se llama pitagórico y el 256/243 semitono diatónico pitagórico.

En la práctica no son suficientes estos sonidos, ya que generalmente es necesario modificar el tono de una melodía, es decir tomar como nota fundamental una distinta del DO, de modo que a partir de ella, subsista la misma serie de intervalos que define la escala, para ello ha sido necesario intercalar nuevas notas, dividiendo cada tono en dos semitonos, creando los "sostenidos" (#) y "bemoles" (b), siendo sostener una nota elevar su número de vibraciones aumentándola en medio tono y bemolizarla consiste en disminuirla en la misma relación. Por lo tanto, al añadir las notas cromáticas (sostenidos y bemoles), a los espacios correspondientes, obtenemos FA# (una cuarta detrás de SI) (3/4) (243/1 28) f= 729/512 f entonces el intervalo FA# - SOL será (3/2) (729/512)= 256/243 que es el semitono diatónico, como se esperaba sin embargo FA-FA # es (729/51 2)/(4/3)= 2187/2048 diferente del anterior, llamado semitono cromático (un poco mayor que el diatónico). Por lo tanto, encontramos en esta escala dos valores distintos de semitonos, pero no es esta la única dificultad, si seguimos moviéndonos escalonadamente, subiendo quintas o bajando cuartas, llegaríamos a SI# que es el equivalente inarmónico del DO, siendo dos notas de distinta relación de frecuencias. El procedimiento más sencillo, para subsanar estos inconvenientes, es ir subiendo por todos los tonos con igual relación, o sea (9/8), (98)², (9/8)³,... entonces SI sería (9/8)⁶ el DO una octava más alto seguiría siendo 2, y el intervalo SI# - DO sería por lo tanto (9/8)⁶/2 = 531.441/524.288, llamado "coma" pitagórica.

Seguidamente se presentan las diferentes frecuencias correspondientes a las notas musicales de esta escala.

Frecuencias correspondientes a las diferentes notas musicales en la escala Pitagórica para distintas octavas.

Tabla 4.2

Existe otra escala, que es la denominada escala diatónica justa, o de Zarlin en la que los intervalos entre dos sonidos son los dados en la Tabla 4.3.

Escala diatónica debida a Zarlin

Tabla 4.3

Vemos que debido a los intervalos entre dos notas consecutivas, aparecen dos nuevos intervalos que son 10/9, denominado "tono menor" y 16/15 denominado semitono mayor, por lo que la gama diatónica está constituida por la serie de intervalos:

• tono menor
• tono menor
• semitono mayor
• tono  mayor
• tono menor
• tono mayor y
• semitono mayor

Por otra parte, entre una nota correspondiente al tono mayor y la del tono menor, existe un intervalo cuyo valor es 81/80 que se llama coma, que sólo es apreciado por personas muy experimentadas en la audición, recibiendo  indistintamente el nombre de tono, quedando la escala formada por dos tonos, un semitono mayor, tres tonos y un semitono mayor. En esta escala los sostenidos (#) y bemoles (b) se obtienen al elevar la nota un número de vibraciones en la relación (25/24), y disminuyéndola en la misma relación, es decir que el intervalo entre un sostenido y la nota de referencia, o entre ésta y su bemol es igual a (25/24) que se llama semitono menor, por ejemplo, el FA de una escala referido a la nota fundamental tiene una frecuencia igual a 4/3, la misma nota  sostenida (FA#) tendrá la frecuencia (4/3) x (25/24) y bemolizada (FAb) (4/3) x (24/25).

Frecuencias correspondientes a las diferentes notas musicales en la escala de Zarlin para distintas octavas

Tabla 4.4

Por este procedimiento no sólo aparece un gran número de notas, sino que además hay algunas veces diferencia de una coma, para obtener la conservación de los intervalos primitivos de la gama, y como además la diferencia entre el sostenido de una nota y el bemol de la siguiente es muy pequeña, en los instrumentos de sonidos fijos (como el piano), se ha hecho necesaria una escala más práctica, que es la llamada escala "temperada", en la cual se reemplaza el sostenido de una nota y el bemol de la siguiente, por el sonido intermedio, estableciendo además la igualdad entre los sucesivos intervalos, dando lugar a que la escala contenga 12 intervalos iguales de valor a-(2)¹ ¹² - 1,0594, al que se le da el nombre de semitono. En definitiva, una vez confundidos los bemoles y soste­nidos, la escala temperada será la dada en la tabla 4.5, que es la mas utilizada universalmente.

Escala temperada debida a Bach

Tabla 4.5

Definimos las centésimas como 1/100 semitonos, añadir 100 centésimas para obtener un semitono, es equivalente a multiplicar la relación del intervalo por la centésima 100 veces. Si llamamos 0 a la relación de la centésima, será.

0¹⁰⁰ = (2)¹/¹².............. 0 = (2)1/1200 = 1,0005779

Desde el momento en que todos los semitonos son del mismo tamaño en la escala temperada, todos los intervalos serán del mismo valor, independientemente de su posición en la escala.

Con la adopción del LA de 440 Hz (en el Congreso Internacional de Acústica celebrado en Londres en 1957, como el "LA Central", podemos determinar todas las frecuencias de la escala, como sabemos que la relación de frecuencias correspondiente al LA es 1,682, podemos asegurar que el "DO medio" en el piano es 440/1,682 = 261,63 Hz. Una vez obtenido el valor en frecuencia de cada nota de la escala, multiplicando y dividiendo por 2, 4, 6, 8... etc., hallamos los valores de las notas correspondientes en otras octavas. La notación más cómoda es la que propuso la Acoustical Society of America, al DO de menor frecuencia dentro de la gama audible, se le asigna el subíndice cero, al igual que a todas las notas de su octava, a las notas de la octava siguiente el uno y así sucesivamente. Entonces el DO medio del piano es el DO4, siendo el DO8 el último del teclado, correspondiendo a la frecuencia patrón de 440 Hz, el LA3.

Frecuencias correspondientes a las diferentes notas musicales en la Escala Temperada (base el LA3 = 440 Hz) para distintas octavas

Tabla 4.6

Los datos de la tabla anterior, son interesantes para ciertos cálculos en algunas técnicas de tipo electroacústico. Como vemos en la tabla 4.6 el sostenido de una nota es igual al bemol de la siguiente. Los instrumentos musicales que producen los sonidos, cuyas características están prefijadas en su construcción (órgano, piano, etc.) reproducen la escala temperada, mientras que en los instrumentos (violín, violonchelo, etc.), en los que los sonidos producidos se efectúan a voluntad del concertista, utilizan la escala diatónica.

La escala temperada sirve para afinar pianos y órganos, así como para construir los instrumentos de viento. Lo que los músicos llaman entonación de uno de esos instrumentos, es el grado de reproducción de esas frecuencias dependiendo principalmente de las dimensiones del instrumento, que no podrán ser de todo perfectas. Es imposible fabricar un instrumento de viento que esté perfectamente afinado para cada nota, ya que en la practica se necesita, el mismo agujero o tecla para más de una nota.

Un factor importante en la entonación de un instrumento de viento es la temperatura del aire, no tanto en los de cuerda, donde la variación de frecuencia es imperceptible. En los de viento, el incremento de velocidad que experimenta el sonido con el aumento de temperatura del aire, hace aumentar sensiblemente la elevación (alrededor de 3 centésimas por cada grado centígrado de temperatura).

El desarrollo tecnológico, ha llevado al nacimiento de nuevos tipos de música y de instrumentos musicales, apareciendo la denominada música electrónica, que es aquella en la que los sonidos se producen por medios electrónicos; o la música concreta, en la que los sonidos se generan electrónicamente a partir de sonidos o ruidos grabados anteriormente; música electrónica instrumental, preparada para grupos de instrumentos contando con una elaboración electrónica; música electrónica en vivo, en este tipo de música, los instrumentos electrónicos desempeñan una función tradicional, mientras se interpreta la obra, bien variando el sonido de los instrumentos o produciendo sus propios sonidos.

Manuel Recuero López