Armónicos

Una nota del mismo tono fundamental suena muy diferente cuando se toca con un violín, una trompeta o una flauta. Esto se debe a que todos los instrumentos musicales producen notas de otras frecuencias junto con la nota fundamental. Estos se llaman armónicos. Las cuerdas y vientos (metales e instrumentos de viento de madera) producen armónicos cuyas frecuencias son múltiplos numéricos simples de la fundamental, mientras que los parches de tambores y los objetos sólidos (campana, platillo y triángulo) producen armónicos sin una relación simple, por lo que sus sonidos son musicalmente discordantes. El carácter del tono de un instrumento depende de la presencia y la intensidad relativa de estos armónicos y se denomina timbre de ese sonido. El teorema de Fourier muestra que cualquier onda sonora se puede formar utilizando una cantidad suficiente de tonos puros de las frecuencias y amplitudes correctas. Son estas frecuencias armónicamente relacionadas cuyas amplitudes están controladas por las barras de tiro de los órganos grandes, las que permiten al intérprete crear cualquier sonido que desee.

Examinemos primero las formas de onda que se pueden producir electrónicamente.

• La Onda Sinusoidal: este es el tono puro básico, la forma de vibración más simple posible. Matemáticamente la onda sinusoidal describe las oscilaciones de un péndulo o cualquier objeto similar. Musicalmente, el único instrumento que produce una onda sinusoidal es un diapasón o una flauta suavemente soplada.

• La onda triangular: esta es la forma de onda producida por un integrador que aumenta alternativamente positivo y negativo en cantidades iguales y al mismo ritmo. El análisis de sus armónicos muestra que contiene sólo múltiplos impares de la frecuencia fundamental, es decir, una onda triangular de frecuencia 100 Hz contiene ondas sinusoidales de 100, 300, 500, 700, 900... Hz (f, 3f, 5f, 7f, 9f...). La amplitud de cada armónico es inversamente proporcional al cuadrado de su número de armónico, es decir, si la fundamental está en la amplitud relativa A, entonces 3f está en A/9, 5f está en A/25, 7f está en A/49. Esto también se puede expresar diciendo que los armónicos disminuyen 12 dB por octava. Así, aunque contiene todos los armónicos impares, la mayoría de ellos son demasiado débiles para ser escuchados; sin embargo, los tiempos entre armónicos adyacentes pueden contribuir al sonido general. Algo parecido a una onda triangular se produce cuando se pulsa una cuerda exactamente en su punto medio. La figura 1 muestra cómo se puede construir la onda triangular.

Figura 1. Espectro de frecuencia de onda triangular, mostrando contenido armónico.

• Ondas cuadradas y rectangulares (pulso): todas ellas son miembros de la misma familia y una regla sencilla explica su contenido armónico. La relación entre las proporciones de alto y bajo, o de encendido y apagado, se denomina ciclo de trabajo o relación marca: espacio. Así, una onda que está alta durante el 25% del tiempo tiene un ciclo de trabajo del 25% y una relación marca: espacio de 1:3. El recíproco del ciclo de trabajo se llama número L, y para un ciclo de trabajo del 25% (=¼), L=4. Una onda rectangular contiene todos los armónicos excepto aquellos divisibles por el número L, en este caso 4f, 8f, 12f, etc. Las amplitudes de los armónicos altos son muy fuertes. La onda cuadrada es un caso especial; su ciclo de trabajo es del 50%, lo que da L=2, por lo que solo contiene armónicos impares. Sus amplitudes son inversamente proporcionales al número armónico (3f=A/3, 5f=A/5, etc.). Esto significa que los armónicos caen a 6 dB por octava (compárese con la onda triangular). Ver Figura 2.

Figura 2. (a) Síntesis de onda cuadrada a partir de ondas sinusoidales, (b) Composición armónica de onda cuadrada.

• Onda de diente de sierra (rampa): esta forma de onda muy útil contiene todos los armónicos pares e impares, y sus amplitudes son inversamente proporcionales al número armónico, al igual que la onda cuadrada (caída de 6 dB por octava). En una onda de diente de sierra de buena calidad, se podrá detectar hasta aproximadamente el trigésimo armónico. Consulte la Figura 3.

Figura 3. (a) Síntesis de onda de diente de sierra (rampa), que muestra el número de armónicos presentes, (b) Composición armónica de onda de diente de sierra

Interconversión de formas de onda

La mayoría de los órganos utilizan divisores biestables y, por lo tanto, tienen a su disposición un gran número de ondas cuadradas relacionadas armónicamente, pero no dientes de sierra. La síntesis adecuada de muchos tonos instrumentales requiere tanto armónicos pares como impares, es decir, dientes de sierra, pero estos pueden crearse electrónicamente mediante el método de escalera. Una onda cuadrada de 200 Hz contiene múltiplos impares de 200 Hz (600, 1000, 1400, etc.) que son armónicos pares de un tono de 100 Hz; de manera similar, una onda cuadrada de 400 Hz contiene también 1200, 2000, 2800... Por lo tanto, al sumar ondas cuadradas de 100 Hz en amplitud A, 200 Hz en A/2 y 400 Hz en A/4, se produce una escalera de 8 escalones, que contiene todos los armónicos necesarios en un diente de sierra de 100 Hz, excepto el 8.º, el 16.º, el 24.º, etc., y todos tienen la amplitud correcta. Se puede hacer un circuito simple para hacer esto con un amplificador operacional 741. Vea la Figura 4(a).

Figura 4a. Circuitos de amplificadores operacionales que generan una onda en "escalera".

Se puede usar un circuito similar para producir una onda cuadrada a partir de dos dientes de sierra separados por una octava; todos los armónicos del diente de sierra más alto son armónicos pares del más bajo, por lo que al restar 2f en la amplitud A/2 desde A, solo quedan los armónicos impares, y esto constituye una onda cuadrada. Vea la Figura 4(b).

Figura 4b. Circuitos de amplificador operacional que dan (b) onda cuadrada.

Consideremos ahora los sonidos de instrumentos reales: su timbre depende no sólo de los armónicos presentes en la forma de onda, sino también del efecto del formante. Se trata de una banda de frecuencias, fija para cada instrumento pero que varía incluso entre diferentes ejemplares del mismo tipo de instrumento, y cualquier armónico que caiga en esta banda de frecuencia suena a un nivel de sonoridad superior al esperado para su número de armónicos. Este efecto es una forma de resonancia y explica por qué un Stradivarius tiene un tono más rico que un violín barato: el formante del Stradivarius es inusualmente amplio y se extiende a frecuencias más altas. El mismo efecto se puede aplicar a un sonido producido electrónicamente mediante el uso de un filtro de paso de banda resonante con frecuencia central ajustable y 'Q'.

Ewen Flint - Electronics & Music Maker