Ondas Acústicas Esféricas

La Expansión del Sonido: Ondas Acústicas Esféricas y la Ley de la Inversa del Cuadrado

En nuestra exploración del mundo del sonido, hasta ahora nos hemos centrado en la propagación unidimensional de ondas planas. Sin embargo, la realidad es que las perturbaciones sonoras a menudo se expanden en múltiples dimensiones. Si consideramos la propagación en dos dimensiones, las ondas se extienden a través de una superficie, mientras que en tres dimensiones, como ocurre comúnmente en el aire libre, la propagación se irradia en todas direcciones. En todos estos casos, las distinciones entre ondas longitudinales y transversales, la noción de longitud de onda y las relaciones entre la velocidad de propagación y las propiedades elásticas del medio siguen siendo fundamentales. En este análisis, asumiremos que el medio (como el aire) es homogéneo (densidad uniforme) e isótropo (propiedades elásticas idénticas en todas direcciones).

El Radiador Isotrópico: Una Fuente de Ondas Esféricas

Para comprender la propagación tridimensional en un fluido, imaginemos una esfera muy pequeña con su centro en un punto O, inmersa en una atmósfera ilimitada, homogénea e isótropa (Figura 1). Si esta esfera se infla rápidamente, su radio aumenta momentáneamente y luego se mantiene constante. El aire que rodea a la esfera experimenta una compresión brusca, y esta perturbación se propaga de manera uniforme en todas direcciones desde el centro O. Una fuente de este tipo, que irradia sonido por igual en todas direcciones, se denomina radiador isotrópico o monopolo.

Figura 1. Radiador isotrópico.

En un instante dado, la perturbación alcanza todos los puntos situados a la misma distancia del centro O, formando una superficie esférica centrada en O. La onda resultante se denomina onda esférica.

En general, un frente de onda o superficie de onda es el lugar geométrico de todos los puntos alcanzados simultáneamente por la perturbación originada en una fuente puntual. Si la perturbación en O es periódica, el conjunto de todos los puntos del medio que vibran en la misma fase constituye una familia de superficies esféricas concéntricas, separadas entre sí por una distancia igual a la longitud de onda (λ). Esto se puede imaginar como una esfera pulsante, cuyo radio experimenta contracciones y dilataciones periódicas. Dado que los fluidos perfectos solo responden a compresiones y dilataciones, las únicas ondas que pueden propagarse en ellos son las longitudinales, y el movimiento vibratorio de cada punto P del fluido ocurre en la dirección de propagación, es decir, radialmente a lo largo de la línea OP, que es normal a la onda esférica.

A grandes distancias de la fuente, si consideramos un pequeño ángulo sólido con vértice en la fuente, la porción de la superficie esférica se puede aproximar a un plano tangente. En otras palabras, a gran distancia, las porciones de los frentes de onda esféricos se comportan localmente como frentes de ondas planas. La línea normal a estos frentes de onda en cada punto se denomina rayo.

La ecuación general de la dinámica aplicada a una partícula del fluido nos permite obtener la presión acústica (p) en función de la posición (coordenadas espaciales) y el tiempo (t), así como de los parámetros del medio. Para ondas con simetría esférica, la presión acústica solo depende de la distancia radial (r) desde la fuente y del tiempo (t). La solución de la ecuación de onda en coordenadas esféricas revela la existencia de una onda esférica divergente que se aleja del origen con velocidad c, y una onda esférica convergente que se dirige hacia el origen. Aunque las ondas convergentes tienen aplicaciones limitadas en acústica general, la ecuación predice valores infinitos de presión en el punto focal de convergencia (r = 0).

Las ondas esféricas divergentes armónicas son particularmente importantes. A diferencia de las ondas planas, la fase entre la presión acústica y la velocidad de la partícula en una onda esférica varía con la distancia a la fuente en relación con la longitud de onda (kr, donde k = 2π / λ).

• Campo Cercano (r << λ): La diferencia de fase tiende a π / 2, y la amplitud de desplazamiento depende de k y varía inversamente con r², adelantándose un cuarto de período con respecto a las ondas planas.

• Campo Lejano (r >> λ): La presión y la velocidad de la partícula están en fase, y la onda esférica se comporta localmente como una onda plana, con la amplitud de desplazamiento variando inversamente con la distancia (1 / r). Esto confirma que a grandes distancias, los frentes de onda esféricos son esencialmente planos.

La impedancia acústica específica (Z = p / v) para ondas esféricas consta de una resistencia acústica específica y una reactancia acústica específica. Ambos términos tienden a cero para valores pequeños de kr, mientras que para valores grandes de kr, la resistencia tiende a ρ0c (la impedancia característica del medio para ondas planas) y la reactancia tiende a cero.

Una pequeña fuente sonora no puede generar ondas esféricas de gran intensidad a distancias cortas, ya que la velocidad de la partícula requerida para presiones sonoras elevadas sería excesiva. De manera similar, es difícil construir una fuente de tamaño convencional que irradie mucha potencia a bajas frecuencias.

La amplitud de presión en una onda esférica sin amortiguamiento disminuye con la inversa de la distancia (1 / r) desde la fuente, a diferencia de las ondas planas donde la amplitud permanece constante (en ausencia de amortiguamiento).

La intensidad (I) de una onda esférica se puede calcular considerando la potencia con la que la onda realiza trabajo contra el medio.

Radiación Esférica de una Fuente Simple (Monopolo)

La fuente más simple que genera ondas esféricas es una esfera pulsante o monopolo, donde el radio varía sinusoidalmente con el tiempo (Figura 2).

Figura 2. Fuente sonora puntual.

Esta fuente irradia ondas esféricas armónicas uniformemente en todas direcciones. A una distancia r de la fuente, la energía sonora se distribuye sobre una superficie esférica de área 4πr², por lo que la intensidad sonora (I) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r²):

donde W es la potencia sonora de la fuente.

Utilizando la relación entre intensidad y presión sonora (I = p² / (ρ0c) en el campo lejano), podemos relacionar el nivel de presión sonora (Lp) con el nivel de potencia sonora (Lw):

Esto implica que en la radiación esférica, el nivel de presión sonora disminuye 6 dB cada vez que la distancia a la fuente se duplica (20 log10 (2) ≈ 6), un principio conocido como la ley de la inversa del cuadrado de la distancia o ley de la divergencia.

El concepto de fuente puntual es una idealización que se cumple aproximadamente para fuentes pequeñas en un campo libre (aire sin fronteras que puedan reflejar o modificar las ondas). Bajo estas condiciones, una simple medición en el campo lejano es suficiente para caracterizar todo el campo sonoro.

En la práctica, las fuentes tienen dimensiones finitas. A distancias cercanas a la fuente (el campo cercano), la propagación no sigue la ley de la divergencia y la radiación no es esférica (Figura 3). En el campo lejano, a distancias donde las ondas pueden considerarse esféricas, se cumple la ley de la divergencia, y el comportamiento del campo sonoro es relativamente independiente de la forma y tamaño exactos de la fuente.

Figura 3. La distancia en el campo próximo y en el campo lejano.

La fortaleza de una fuente esférica (Qs) se define como el producto del área de la superficie de la esfera pulsante por la amplitud de su velocidad (Qs = 4πa²v0 ), donde a es el radio y v0  la amplitud de velocidad.

Efecto de Superficies Rígidas en la Radiación

La presencia de una superficie rígida cerca de una fuente sonora puede alterar significativamente su patrón de radiación. Un caso importante es una fuente simple montada en una pantalla plana infinita (Figura 4). En este caso, la radiación se confina a un solo lado del plano, creando una radiación hemisférica. La presión acústica generada en este semi-espacio es idéntica a la que produciría una fuente esférica del mismo radio, frecuencia y amplitud de velocidad en un espacio libre. Sin embargo, la fortaleza de la fuente hemisférica es la mitad que la de la fuente esférica equivalente, mientras que la presión acústica es el doble (un aumento de 6 dB en el nivel de presión sonora).

Figura 4. Fuente hemisférica montada en una pantalla infinita.

Directividad de las Fuentes Sonoras

Muchas fuentes sonoras son direccionales, lo que significa que irradian más energía en ciertas direcciones que en otras. El patrón de esta variación, conocido como patrón de radiación o diagrama de directividad, puede ser complejo y a menudo se determina experimentalmente midiendo los niveles de presión sonora en diferentes ángulos alrededor de la fuente para una frecuencia específica (Figura 5).

Figura 5. Dibujo polar de un patrón de radiación de un pistón.

La radiación de superficies vibrantes extendidas (como pistones o diafragmas) generalmente no es esféricamente simétrica y presenta lóbulos de radiación donde la intensidad sonora es mayor. La presión producida en un punto es la suma de las presiones de fuentes simples distribuidas sobre la superficie. Si las dimensiones de la fuente son comparables a la longitud de onda, se observan efectos de directividad significativos.

Para un pistón vibrante, la presión sonora radiada es función del ángulo polar y la distancia. Dentro del lóbulo principal (la zona de mayor radiación), la fase de la presión es relativamente uniforme. Los lóbulos secundarios presentan presiones significativamente menores. El ancho angular del lóbulo principal disminuye a medida que el radio del pistón se hace mayor en comparación con la longitud de onda. Cuando el radio es muy pequeño en relación con la longitud de onda, el pistón se comporta como una fuente hemisférica.

El patrón de directividad es una representación gráfica de la respuesta de una fuente en función de la dirección para una frecuencia dada. Se suele mostrar en coordenadas polares, donde la distancia radial desde el centro representa la intensidad o el nivel de presión sonora en esa dirección. La anchura del haz se define como el ángulo dentro del cual la intensidad sonora cae a la mitad de su valor en la dirección axial (el eje de máxima radiación).

El factor de directividad (D) cuantifica la direccionalidad de una fuente para una frecuencia y dirección específicas:

donde Id  es la intensidad en esa dirección y Ii es la intensidad que produciría una fuente isotrópica con la misma potencia total a la misma distancia. También se puede expresar en términos de la presión sonora.

El índice de directividad (DI) o ganancia direccional se expresa en decibelios:

Los valores del factor de directividad varían desde 1 (0 dB) para una fuente isotrópica hasta valores mucho mayores para fuentes altamente direccionales.

Finalmente, la impedancia de radiación (Zr) de un pistón es la relación entre la fuerza ejercida por el pistón sobre el medio y su velocidad. Esta impedancia es crucial para determinar la potencia acústica radiada, ya que la potencia es el trabajo realizado contra la resistencia de radiación, que depende de la frecuencia.

Al igual que con las ondas planas, el concepto de impedancia acústica que surge en el estudio de las ondas esféricas y la radiación tiene analogías directas con la impedancia eléctrica (resistencia, inductancia y capacitancia) y la impedancia mecánica (resistencia mecánica, masa y elasticidad), como se exploró en entradas anteriores.]

Conclusión:

Las ondas acústicas esféricas representan la forma fundamental en que el sonido se propaga desde fuentes puntuales o pequeñas en espacios abiertos. La ley de la inversa del cuadrado describe la disminución de la intensidad y la presión con la distancia. Sin embargo, la directividad de las fuentes reales complica este panorama, especialmente cuando las dimensiones de la fuente son significativas en comparación con la longitud de onda. Comprender estos conceptos es esencial para el diseño de sistemas de sonido, la predicción de la propagación del ruido y el análisis del comportamiento de diversas fuentes sonoras en el mundo real.