Ondas Acústicas Esféricas

En el tema anterior se ha estudiado el caso de la propagación de una perturbación en una sola dimensión, si se considera en dos dimensiones, las ondas se propagan a través de una superficie, mientras que si es en tres dimensiones la propagación se realiza en un medio extendido en todas direcciones. En todos los casos, se distingue entre ondas longitudinales y transversales, la noción de longitud de onda, así como las relaciones entre las velocidades de propagación y las propiedades elásticas del medio.

Se considerarán medios homogéneos e isótropos entendiendo por tal, aquellos cuya densidad es uniforme y cuyas propiedades elásticas son las mismas en todas las direcciones.

Para tener una idea más sencilla de la propagación en el caso de un fluido, supongamos una esfera con un radio muy pequeño que tiene su centro en el punto O (figura 1.17), que se encuentra en una atmósfera ilimitada, homogénea e isótropa. Al inflar rápidamente la esfera, su radio aumenta un cierto valor, manteniéndose después constante. El aire que rodea a esta esfera sufre una brusca compresión, propagándose la perturbación de forma análoga en todas las direcciones, denominándose a una fuente de este tipo "radiador isotrópico"

Radiador isotrópico
Figura 1.17.

En un determinado instante, la perturbación alcanza todos los puntos de una superficie de una esfera centrada en el punto 0, llamándose a la onda en este caso esférica.

En general, se denomina frente de onda o superficie de onda, al lugar geométrico de los puntos alcanzados en el mismo instante por la perturbación, originada por una fuente puntual. Si la perturbación provocada en 0 es periódica, el conjunto de todos los puntos del medio que se encuentran en el mismo estado de vibración, constituyen una familia de superficies esféricas concéntricas, separadas entre sí un espacio igual a la longitud de onda, Esto se obtiene haciendo que el radio de la esfera, experimente contracciones y dilataciones periódicas (esfera pulsante). De hecho, puesto que los fluidos perfectos no pueden reaccionar más que a comprensiones o dilataciones, las únicas vibraciones capaces de propagarse en este medio son las longitudinales, y el movimiento vibratorio de cada punto P de un fluido se hace en la dirección de propagación, es decir de radio OP que es normal a la onda.

Si se estudia el movimiento de los puntos situados muy lejos de la fuente, según un pequeño ángulo sólido, cuyo vértice es la fuente de la perturbación, se puede confundir la porción de superficie esférica, con la parte correspondiente del plano tangente, o sea a gran distancia de la fuente, las porciones de superficie de onda, se pueden considerar como frentes de ondas planas, denominándose a la línea normal a los mismos, en cada uno de sus puntos, con el nombre de rayo.

La ecuación general de la dinámica, de una partícula del medio fluido, cuyas coordenadas en equilibrio son x, y, z nos permite obtener el valor de la presión acústica en función de las variables espacial y temporal, así como de los parámetros característicos del sistema.

Si las ondas tienen simetría esférica, la presión acústica será función de la distancia radial y del tiempo t, apareciendo una onda esférica divergente que parte del origen de coordenadas con una velocidad c, y otra onda similar convergente hacia el origen.

Las ondas acústicas convergentes tienen poca importancia en acústica, aunque se puede observar que en el origen (r = 0) la ecuación predice los valores infinitos de la presión acústica en el punto focal de las ondas convergentes.

Las ondas esféricas divergentes más importantes, son aquellas en las que las vibraciones son armónicas. En este caso podemos ver, que a diferencia de las ondas planas, la fase entre la presión acústica y la velocidad de la partícula, varía aproximadamente desde π / 2 hasta 0, dependiendo del valor k x r (donde k=2π/λ que es un factor determinante de muchos fenómenos acústicos, ya que el ángulo de fase entre la presión y la velocidad es una función de la relación entre la distancia a la fuente y la longitud de onda. Cuando r<< λ la diferencia de fase tiende a π / 2, y la amplitud de desplazamiento depende de k y varía inversamente con r² estando la fase adelantada un cuarto de período respecto a la de las ondas planas, Por otro lado, si r>>λ , la presión y la velocidad de la partícula están en fase, y la onda esférica podemos considerar que se comporta como una onda plana, variando su amplitud de desplazamiento con la inversa de la distancia. Este razonamiento nos indica que los frentes de las ondas esféricas son esencialmente planos a grandes distancias de la fuente.

En este tipo de ondas la Impedancia acústica específica (Z = p/v), consta de dos términos, el primero que representa la resistencia acústica especifica y el segundo la reactancia acústica específica, Ambos términos tienden a cero para valores muy pequeños de k r, mientras que para valores muy grandes de k r, el término resistivo tiende a ρ0.c y el reactivo a cero.

Para distancias pequeñas desde el punto a la fuente sonora, la velocidad de la partícula correspondiente a presiones sonoras muy pequeñas, no puede llegar a ser grande, por lo que una pequeña fuente sonora no puede generar ondas esféricas de gran intensidad. De forma análoga, es imposible construir una fuente sonora de un tamaño regular que sea capaz de radiar una gran cantidad de potencia a bajas frecuencias.

La amplitud de presión de una onda esférica sin amortiguamiento no es constante, mientras que en una onda plana sin amortiguamiento si lo es, ya que disminuye con la inversa de la distancia a la fuente.

La intensidad de una onda esférica se puede obtener considerando que es igual al valor medio para el que una onda esférica realiza su trabajo contra el medio.

Radiación esférica de una fuente simple

El tipo más sencillo de fuente para generar ondas esféricas es una esfera pulsante, también llamada monopolo, donde el radio varía sinusoidalmente con el tiempo. Una fuente de este tipo radia ondas esféricas armónicas en el medio que le rodea, supuesto éste homogéneo e isótropo.

En la figura 1.18, se ve una fuente de este tipo, en la que el sonido se radia igualmente en todas las direcciones desde un centro aparente. A una distancia r de la fuente, el sonido se distribuye uniformemente sobre una superficie esférica de radio r, y en un punto específico de esta superficie, la intensidad sonora será inversamente proporcional a r².

Fuente sonora puntual.
Figura 1.18.

Para un monopolo radiando ondas esféricas armónicas la intensidad sonora I es  

donde W es la potencia sonora y r distancia desde el monopolo.

Si empleamos la relación entre la intensidad y la presión sonora tenemos que

Figura 1.20

donde LP nivel de presión sonora, Lw nivel de potencia sonora y r distancia desde la fuente al punto de medida.

Por lo tanto, en el caso de radiación esférica, el nivel de presión sonora disminuye 6 dB (20 log 2), cada vez que la distancia a la fuente se duplica (r' = 2 r), conociéndose este resultado como ley de la inversa del cuadrado de la distancia o ley de la divergencia.

El concepto de fuente puntual es una idealización, y las características descritas anteriormente dependen de la fuente y del aire libre sin fronteras físicas, ya que si existiesen dichas fronteras se podría modificar el patrón o diagrama de radiación de las ondas esféricas concéntricas. Estas condiciones se denominan generalmente de campo libre. Bajo estas condiciones y con una fuente puntual verdadera, es suficiente una simple medida para determinar todas las características del campo sonoro.

En la práctica las fuentes no son puntuales, aunque pueden aproximarse a este caso ideal. Las fuentes tendrán una forma determinada, y considerando por simplificación que el sonido se propaga más o menos uniformemente dese la fuente, entonces se encuentra que a partir de una distancia inicial r0 la intensidad sonora disminuye de acuerdo con la ley de la divergencia (figura 1.19). Esta característica de fuente no puntual da lugar al concepto de "campo próximo" en el que la propagación no sigue la ley de la divergencia, o sea la radiación no es esférica; se denomina "campo lejano" aquel en el que se cumple la ley de la divergencia, es decir las ondas son esféricas. Por consiguiente, las condiciones de campo libre, aplicadas a una medida simple en el campo lejano, definen satisfactoriamente el campo sonoro en esa región, ya que el comportamiento es independiente de la forma y tamaño, de la fuente. En el campo próximo, el patrón de propagación depende del tamaño y forma de la fuente.

La distancia en el campo próximo y en el campo lejano.
Figura 1.19.

La fortaleza de una fuente esférica Qs, se define como el producto del área de la superficie por la amplitud de la velocidad de la esfera pulsante, o sea Qs = 4π a² v₀ (m³/s), donde a es el radio de la esfera pulsante y v₀ la amplitud de velocidad de la misma.

La radiación característica de una fuente sonora, está afectada por la presencia de una gran superficie rígida, que se encuentre próxima a la fuente. Un caso importante es el que presenta una fuente simple montada sobre la superficie de una pantalla plana infinita, por lo que la radiación está confinada a una sola de las caras del plano. Una pequeña fuente de radiación hemisférica montada en una pantalla infinita se ve en la figura 1.20. Por la simetría de esta disposición, se aprecia que en la presión acústica generada en la cara de la pantalla, en la que la radiación es hemisférica, es idéntica a la que se produciría en un espacio libre por una fuente esférica que tuviese el mismo radio, frecuencia y amplitud de velocidad.

La fortaleza de una fuente de este tipo es la mitad que la de una fuente esférica, que tenga el mismo radio y la misma amplitud de velocidad, mientras que la presión acústica es dos veces mayor que la producida por una fuente esférica de la misma fortaleza.

Fuente hemisférica montada en una pantalla infinita.
Figura 1.20.

Muchas fuentes sonoras son direccionales, es decir radian más energía en una dirección que en otra. El diagrama de variación puede ser complejo, aunque puede determinarse para algunos planos particulares, efectuando medidas sonoras en un plano y dibujando los contornos de igual nivel de presión sonora.

En general, la radiación producida por la vibración de una superficie extendida (pistones, diafragmas, etc.), no tienen el patrón de radiación esférico simétrico característico de una fuente simple. La presión producida en un punto por una fuente de este tipo es, sin embargo, la suma de las presiones que producirían una asociación de fuentes simples. Es de esperar que fuentes de este tipo tengan unas características direccionales definidas, si sus dimensiones lineales son comparables con la longitud de onda.

La presión sonora radiada por un pistón es función tanto del ángulo polar (ángulo entre el radio vector y el eje x), como de la distancia a la fuente, las ondas no tienen simetría esférica. Sin embargo, se conservan las propiedades características de una onda divergente, o sea la presión es inversamente proporcional a la distancia radial desde el centro de la fuente. La fase de la presión sonora en un frente de ondas esférico es la misma en todos los puntos incluidos dentro del lóbulo mayor (zona de radiación donde la presión sonora es mayor).

La presión acústica dentro del primer lóbulo es en general mucho más pequeña que dentro del lóbulo mayor, siendo el valor máximo en este lóbulo igual a 0,133 veces el valor máximo del lóbulo mayor, y si las diferencias se dan en niveles de presión sonora, el valor en el primer lóbulo es 17,5 dB menor que el del lóbulo mayor.

Cuando el radio del pistón es grande frente a la longitud de onda sonora, el patrón de radiación tiene muchos lóbulos y el ancho angular del lóbulo mayor es más pequeño. Por otro lado, si la relación entre el radio y la longitud de onda es muy pequeña, sólo existirá lóbulo mayor. En este caso, las amplitudes de presión son simétricas alrededor del centro del pistón, y son iguales a las producidas por una fuente simple de radiación hemisférica de igual fortaleza.

Se llama patrón de directividad de una fuente sonora a una descripción gráfica de la respuesta de una fuente sonora en función de la dirección de las ondas transmitidas en un plano específico para una determinada frecuencia. En la figura 1.21 , se muestra el dibujo polar de un patrón de radiación de un pistón de radio a y fortaleza de la fuente Qp que varía con la frecuencia. Las distancias radiales son proporcionales a log l, pudiendo observar que la intensidad axial es mucho mayor para altas frecuencias que para bajas. Se define como anchura del haz al ángulo para el que la intensidad sonora, disminuye a la mitad de su valor en la dirección axial de la fuente.

Figura 1.21.

Un procedimiento para especificar la direccionalidad de una fuente sonora, es el de utilizar el término factor de directividad D, que es función de la dirección y de la frecuencia, definido como

(1.21)

donde Id es la intensidad sonora media a una distancia r de la fuente según una dirección, mientras que Ii es la intensidad de referencia definida por una fuente isotrópica,

(1.22)

donde W es la potencia sonora total radiada por la fuente. Así mismo el factor de directividad se puede definir como la relación entre la presión sonora media al cuadrado a una distancia específica y según una dirección (Pd)², y la presión sonora media al cuadrado a la misma distancia, considerando radiación de ondas esféricas en todas direcciones desde la fuente (Pi)²,

 

(1.23)

El efecto direccional de la fuente se puede dar de forma análoga, para el nivel de presión sonora, o sea

(1.24)

Luego conociendo el nivel de potencia (Lw) y el factor de directividad (D) para una determinada dirección, el nivel de presión sonora (Lp) en un punto a una distancia r se puede calcular en el campo lejano, aplicando las condiciones de campo libre.

El índice de directividad, también llamado ganancia direccional, está definido por

(1.25)

o bien por

(1.26)

Los valores del factor de directividad van desde la unidad para una fuente de simetría esférica, como en el caso de una fuente simple, hasta valores mucho  mayores para fuentes muy direccionales.

Se define como impedancia de radiación Zr de un pistón, a la relación entre la fuerza ejercida por el pistón sobre el medio y la velocidad del pistón. La presión y la intensidad originadas en un medio por una superficie vibrante, no tienen en general, la amplitud y frecuencias de vibración constantes, ya que existe una fuerza conductora conocida, por lo que la amplitud de vibración es función de la frecuencia. Se tiene que tener en cuenta para el estudio del movimiento, además de la masa, elasticidad, y resistencia mecánica, la fuerza con la que el medio reacciona sobre la superficie conductora. La fuerza de reacción es necesaria para transferir la energía desde el conductor al medio.

La potencia acústica radiada por un pistón es igual al trabajo hecho contra la resistencia de radiación, cuyo valor variará en función de la frecuencia.

Manuel Recuero López